Question

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 和 $e$ 为正整数，且 $a+b+c+d+e=2010$ 。令 $M$ 为 $a+b$ 、 $b+c$ 、 $c+d$ 和 $d+e$ 中的最大值。 $M$ 的最小可能值是多少？

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be positive integers with $a+b+c+d+e=2010,$ and let $M$ be the largest of the sums $a+b,$ $b+c,$ $c+d,$ and $d+e.$ What is the smallest possible value of $M?$

$670$

$671$

$802$

$803$

$804$

答案：B

知识点：最优化不等式极端原理

难度评级：1670

小提示：

$(a+b)+c+(d+e)=2010$ ，且 $a+b$ 、 $c$ 和 $d+e$ 都至多为 $M$

$(a+b)+c+(d+e)=2010,$ and each of $a+b,$ $c,$ and $d+e$ is at most $M$

大提示：

这迫使 $3M\ge2010$ ；排除 $M=670$ ，再构造达到界的例子

This forces $3M\ge2010;$ rule out $M=670,$ then build an example reaching the bound

解答：

$a+b$ ， $d+e$ ，和 $c$ 都至多为 $M$ （注意 $c\le c+d\le M$ ）。相加得 $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M$ ，所以 $M\ge670$ 。

如果 $M=670$ 则 $c=670$ ，但此时 $b+c\ge671\gt M$ ，矛盾。因此 $M\ge671$ 。

取 $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669)$ ，可达到 $671$ ，其相邻两项和为 $670,671,671,670$ 。

因此，正确答案是 B。

Each of $a+b,$ $d+e,$ and $c$ is at most $M$ (note $c\le c+d\le M$ ). Adding, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ so $M\ge670.$

If $M=670,$ then $c=670,$ but then $b+c\ge671\gt M,$ a contradiction. Hence $M\ge671.$

The value $671$ is reached by $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ whose consecutive-pair sums are $670,671,671,670.$

Thus, the correct answer is B.

2010 AMC 12B 第 14 题

答案：B

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题