Question

若 $c$ 是常数，且由 $\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32 \end{gathered}$ 定义的函数 $f$ 对除 $-\frac32$ 外的所有实数 $x$ 都满足 $f(f(x))=x$ ，则 $c$ 等于

If $c$ is a constant and the function $f$ defined by $\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32, \end{gathered}$ satisfies $f(f(x))=x$ for all real numbers $x$ except $-\frac32,$ then $c$ is

$-3$

$-\frac32$

$\frac32$

$3$

由所给信息不能唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：A

知识点：函数分式方程代数变形

难度评级：1780

小提示：

把 $f(f(x))$ 化为一个有理式

Compute $f(f(x))$ as a single rational expression

大提示：

要使结果恒等于 $x$ ，比较分母中 $x$ 的系数

For the result to equal $x$ identically, compare the coefficient of $x$ in the denominator

解答：

直接复合可得 $f(f(x)) =\frac{c^2x}{(2c+6)x+9}\text{。}$ 要使其恒等于 $x$ ，分母必须为常数 $c^2$ 。因此 $2c+6=0$ ，且 $c^2=9$ ，两者共同给出 $c=-3$ 。

因此，正确答案是 A。

Direct composition gives $f(f(x)) =\frac{c^2x}{(2c+6)x+9}.$ For this to equal $x$ identically, the denominator must be the constant $c^2.$ Thus $2c+6=0$ and $c^2=9,$ both of which give $c=-3.$

Therefore, the correct answer is A.

1980 AMC 12 第 14 题

答案：A

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题