Question

一个凸多边形恰有三个内角为钝角。这样的多边形最多有多少条边？

Exactly three of the interior angles of a convex polygon are obtuse. What is the maximum number of sides of such a polygon?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：C

知识点：角度和极端原理不等式

难度评级：1960

小提示：

用 $180^\circ$ 限定三个钝角，并用 $90^\circ$ 限定其余每个内角

Bound the three obtuse angles by $180^\circ$ and every other angle by $90^\circ$

大提示：

将该上界与内角和 $(n-2)180^\circ$ 比较

Compare that upper bound with the interior-angle sum $(n-2)180^\circ$

解答：

对于一个 $n$ 边形，三个钝角之和小于 $3\cdot180^\circ$ ，其余 $n-3$ 个角之和至多为 $(n-3)90^\circ$ 。因此 $\begin{aligned} (n-2)180^\circ &\lt3(180^\circ)\\ &\quad{}+(n-3)90^\circ\text{，} \end{aligned}$ 化简得 $n\lt7$ 。六边形可以达到，例如其内角为 $150^\circ$ 、 $150^\circ$ 、 $150^\circ$ 、 $90^\circ$ 、 $90^\circ$ 、 $90^\circ$ 。所以最大边数为 $6$ 。

因此正确答案是 C。

For an $n$ -gon, the three obtuse angles have total less than $3\cdot180^\circ,$ while the other $n-3$ angles have total at most $(n-3)90^\circ.$ Hence $\begin{aligned} (n-2)180^\circ &\lt3(180^\circ)\\ &\quad{}+(n-3)90^\circ, \end{aligned}$ which simplifies to $n\lt7.$ Six sides are attainable, for example with interior angles $150^\circ,$ $150^\circ,$ $150^\circ,$ $90^\circ,$ $90^\circ,$ and $90^\circ.$ Thus the maximum is $6.$

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 14 题

答案：C

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题