Question

给定正九边形 $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9$ ，在该多边形所在平面内，有多少个不同的等边三角形至少有两个顶点属于集合 $\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}$ ？

Given the nine-sided regular polygon $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9,$ how many distinct equilateral triangles in the plane of the polygon have at least two vertices in the set $\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}?$

$30$

$36$

$63$

$66$

$72$

答案：D

知识点：图形中的形状计数正多边形双重计数

难度评级：1710

小提示：

每一对顶点都恰好可以作为两个等边三角形的一条边

Each pair of vertices is a side of exactly two equilateral triangles

大提示：

这样得到 $2\binom{9}{2}$ 个计数，但三个全由给定顶点组成的三角形各被数了三次

This counts $2\binom{9}{2}$ triangles, but the three all-vertex triangles get counted three times each

解答：

$\binom{9}{2} = 36$ 对顶点中的每一对，都可以作为恰好两个等边三角形的一条边，因此按重数计共有 $72$ 个三角形。

三角形 $A_1 A_4 A_7$ ， $A_2 A_5 A_8$ ，和 $A_3 A_6 A_9$ 的三个顶点都在该集合中，所以每个被数了三次而不是一次，每个多算了 $2$ 次。

不同三角形的个数为 $72 - 3 \cdot 2 = 66$ 。

因此，正确答案是 D。

Each of the $\binom{9}{2} = 36$ pairs of vertices is a side of exactly two equilateral triangles, giving $72$ triangles counted with multiplicity.

The triangles $A_1 A_4 A_7,$ $A_2 A_5 A_8,$ and $A_3 A_6 A_9$ have all three vertices in the set, so each is counted three times instead of once, an overcount of $2$ apiece.

The number of distinct triangles is $72 - 3 \cdot 2 = 66.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 第 14 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题