Question

对所有正整数 $n$ ，定义 $f(n) = \log_{2002} n^2$ 。令 $N = f(11) + f(13) + f(14)\text{。}$ 下列哪个关系成立？

For all positive integers $n,$ let $f(n) = \log_{2002} n^2.$ Let $N = f(11) + f(13) + f(14).$ Which of the following relations is true?

$N \gt 1$

$N = 1$

$1 \lt N \lt 2$

$N = 2$

$N \gt 2$

答案：D

知识点：对数

难度评级：1500

小提示：

$f(n) = \log_{2002} n^2 = 2\log_{2002} n$ 。

$f(n) = \log_{2002} n^2 = 2\log_{2002} n$

大提示：

合并为 $N = \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2$ ，再计算里面的乘积。

Combine into $N = \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2$ and evaluate the product inside

解答：

利用 $\log a^2 = 2\log a$ 并合并对数， $\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2 \end{aligned}\text{。}$

因为 $11\cdot 13\cdot 14 = 2002$ ，所以这是 $\log_{2002} 2002^2 = 2$ 。

因此，正确答案是 D。

Using $\log a^2 = 2\log a$ and adding logs, $\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2. \end{aligned}$

Since $11\cdot 13\cdot 14 = 2002,$ this is $\log_{2002} 2002^2 = 2.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 12A 第 14 题

答案：D

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题