Question

点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 位于圆 $O$ 上。圆在 $A$ 点处的切线与割线 $BC$ 交于 $P$ ，且 $B$ 位于 $C$ 与 $P$ 之间。若 $BC=20$ 且 $PA=10\sqrt3$ ，则 $PB$ 等于：

The points $A,$ $B,$ and $C$ are on a circle $O.$ The tangent line at $A$ and the secant $BC$ intersect at $P,$ $B$ lying between $C$ and $P.$ If $BC=20$ and $PA=10\sqrt3,$ then $PB$ equals:

$5$

$10$

$10\sqrt3$

$20$

$30$

答案：B

知识点：圆幂 tangent-secant theorem quadratic equation

难度评级：1570

小提示：

使用 $PA^2=PB\cdot PC$

Use $PA^2=PB\cdot PC$

大提示：

若 $PB=t$ ，则 $PC=t+20$

If $PB=t,$ then $PC=t+20$

解答：

设 $PB=t$ 。由于 $B$ 位于 $P$ 与 $C$ 之间，所以 $PC=t+20$ 。由切割线定理， $(10\sqrt3)^2=t(t+20)\text{。}$ 因此 $t^2+20t-300=0$ ，即 $(t-10)(t+30)=0$ 。长度为正，所以 $t=10$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $PB=t.$ Since $B$ lies between $P$ and $C,$ we have $PC=t+20.$ The tangent-secant theorem gives $(10\sqrt3)^2=t(t+20).$ Thus $t^2+20t-300=0,$ or $(t-10)(t+30)=0.$ A length is positive, so $t=10.$

Therefore, the correct answer is B.

1956 AMC 12 第 14 题

答案：B

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题