Question

对某个复数 $c$ ，多项式

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}$

恰有 $4$ 个不同的根。 $|c|$ 是多少？

For a certain complex number $c,$ the polynomial

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}$

has exactly $4$ distinct roots. What is $|c|?$

$2$

$\sqrt{6}$

$2\sqrt{2}$

$3$

$\sqrt{10}$

答案：E

知识点：复数多项式韦达定理

难度评级：1690

小提示：

第一和第三个因式给出根 $1 \pm i$ 和 $2 \pm 2i$ 。

The first and third factors give roots $1 \pm i$ and $2 \pm 2i$

大提示：

要只有 $4$ 个不同根， $x^2 - cx + 4$ 必须复用其中两个根；它的两根乘积为 $4$ 。

For only $4$ distinct roots, $x^2 - cx + 4$ must reuse two of these; its roots multiply to $4$

解答：

因式 $x^2 - 2x + 2$ 和 $x^2 - 4x + 8$ 的根分别为 $1 \pm i$ 和 $2 \pm 2i$ ，这 $4$ 个值互不相同。

要使 $P$ 恰有 $4$ 个不同根， $x^2 - cx + 4$ 的根必须在这些根中。它们的乘积必须等于 $4$ ，唯一可行的配对是从两个因式各取一个根，例如 $(1 + i)(2 - 2i) = 4$ 。

此时 $c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i$ ，所以 $|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ 。

所以正确答案是 E。

The factors $x^2 - 2x + 2$ and $x^2 - 4x + 8$ have roots $1 \pm i$ and $2 \pm 2i,$ which are $4$ distinct values.

For $P$ to have exactly $4$ distinct roots, the roots of $x^2 - cx + 4$ must lie among these. Their product must equal $4,$ and the only such pair is one root from each factor, for example $(1 + i)(2 - 2i) = 4.$

Then $c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,$ so $|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A 第 14 题

答案：E

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

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