Question

正实数 $a$ 和 $b$ 满足

$\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}$

且左边四项都是正整数，其中 $\log$ 表示以 $10$ 为底的对数。 $ab$ 是多少？

Positive real numbers $a$ and $b$ have the property that

$\begin{aligned} &\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} \\ &\quad {}+ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100 \end{aligned}$

and all four terms on the left are positive integers, where $\log$ denotes the base $10$ logarithm. What is $ab?$

$10^{52}$

$10^{100}$

$10^{144}$

$10^{164}$

$10^{200}$

答案：D

知识点：对数丢番图方程分类讨论

难度评级：1730

小提示：

令 $\sqrt{\log a} = p$ 且 $\sqrt{\log b} = q$ ；则 $\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}$ 必须是整数

Let $\sqrt{\log a} = p$ and $\sqrt{\log b} = q;$ then $\log\sqrt{a} = \tfrac{p^2}{2}$ must be an integer

大提示：

令 $p = 2m$ ， $q = 2n$ ，方程变为 $m(m+1) + n(n+1) = 50$

With $p = 2m,$ $q = 2n,$ the equation becomes $m(m+1) + n(n+1) = 50$

解答：

令 $\sqrt{\log a} = p$ 且 $\sqrt{\log b} = q$ ，则 $\log a = p^2$ 且 $\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}$ 。要使它为整数， $p$ 必须为偶数；同理 $q$ 也必须为偶数。

写成 $p = 2m$ ， $q = 2n$ ，方程 $p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100$ 变为 $m(m+1) + n(n+1) = 50$ 。

唯一解为 $\{m, n\} = \{4, 5\}$ ，因此 $\log(ab) = p^2 + q^2$ $= 4(16 + 25) = 164$ 。

所以 $ab = 10^{164}$ 。

所以正确答案是 D。

Let $\sqrt{\log a} = p$ and $\sqrt{\log b} = q,$ so $\log a = p^2$ and $\log\sqrt{a} = \dfrac{p^2}{2}.$ For this to be an integer, $p$ is even; likewise $q.$

Writing $p = 2m,$ $q = 2n,$ the equation $p + q + \dfrac{p^2}{2} + \dfrac{q^2}{2} = 100$ becomes $m(m+1) + n(n+1) = 50.$

The only solution is $\{m, n\} = \{4, 5\},$ giving $\log(ab) = p^2 + q^2$ $= 4(16 + 25) = 164.$

Therefore $ab = 10^{164}.$

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1730

小提示：

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解答：

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