Question

假设 $0 \lt r \lt 3$ 。下面是五个关于 $x$ 的方程。哪个方程的解 $x$ 最大？

Assume $0 \lt r \lt 3.$ Below are five equations for $x.$ Which equation has the largest solution $x?$

$3(1 + r)^x = 7$

$3(1 + \frac{r}{10})^x = 7$

$3(1 + 2r)^x = 7$

$3(1 + \sqrt{r})^x = 7$

$3(1 + \frac{1}{r})^x = 7$

答案：B

知识点：对数不等式

难度评级：1710

小提示：

解出每个方程得 $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}$ ；底数越小， $x$ 越大。

Solving each gives $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}$ ; a smaller base makes $x$ larger

大提示：

比较 $r,\ \frac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \frac{1}{r}$ 在 $0 \lt r \lt 3$ 时的大小，找出最小者。

Compare the values $r,\ \frac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \frac{1}{r}$ for $0 \lt r \lt 3$ and find the smallest

解答：

每个方程都给出 $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}$ ，所以正数 $f(r)$ 越小，解越大。

当 $0 \lt r \lt 3$ 时，有 $\dfrac r{10}\lt r\lt2r$ ，并且因为 $r\lt100$ ，还有 $\dfrac r{10}\lt\sqrt r$ 。又因为 $r^2\lt9\lt10$ ，所以 $\dfrac r{10}\lt\dfrac1r$ 。因此五个量中 $\frac{r}{10}$ 最小，方程 (B) 的解最大。

所以正确答案是 B。

Each equation gives $x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))},$ which is largest when the positive quantity $f(r)$ is smallest.

For $0 \lt r \lt 3,$ we have $\dfrac r{10}\lt r\lt2r$ and $\dfrac r{10}\lt\sqrt r$ because $r\lt100.$ Also $r^2\lt9\lt10,$ so $\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.$ Thus $\frac{r}{10}$ is the smallest of the five quantities, and equation (B) has the largest solution.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B 第 15 题

答案：B

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题