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2017 AMC 12A 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

设 f(x)=sin⁡x+2cos⁡x+3tan⁡xf(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x，其中变量 xx 使用弧度制。使 f(x)=0f(x)=0 的最小正 xx 落在哪个区间？

Let f(x)=sin⁡x+2cos⁡x+3tan⁡x,f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x, using radian measure for the variable x.x. In what interval does the smallest positive value of xx for which f(x)=0f(x)=0 lie?

(0,1)(0,1)

(1,2)(1,2)

(2,3)(2,3)

(3,4)(3,4)

(4,5)(4,5)

答案：D
知识点：三角学
难度评级：1800
小提示：

对 0<x<π20\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}，三项都为正，所以那里没有根

For 0<x<π20\lt x\lt\dfrac{\pi}{2} all three terms are positive, so there is no root there

大提示：

刚过 π2\dfrac{\pi}{2} 后，3tan⁡x3\tan x 使 ff 为负；定位 π\pi 之后的第一次变号

Just past π2\dfrac{\pi}{2} the term 3tan⁡x3\tan x makes ff negative; locate the first sign change after π\pi

解答：

对 0<x<π20\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}，三项都为正，所以 f(x)>0f(x)\gt0。对 π2<x<π\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi，令 s=sin⁡x>0s=\sin x\gt0，t=−cos⁡x>0t=-\cos x\gt0。因为 0<t≤10\lt t\le1，f(x)=s−2t−3st=−2t−s(3t−1)<0。 \begin{aligned} f(x)&=s-2t-\dfrac{3s}{t} \\ &=-2t-s\left(\dfrac{3}{t}-1\right)\lt0 \end{aligned}\text{。} 因此在 x=πx=\pi 之前没有根。

当 x=πx=\pi，f(π)=0+2(−1)+0=−2<0f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0。当 x=5π4x=\dfrac{5\pi}{4}，tan⁡x=1\tan x=1，所以 f=−22+3>0f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0。由介值定理，最小正根位于 (π,5π4)\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right)。

因为 π>3\pi\gt3 且 5π4<4\dfrac{5\pi}{4}\lt4，这个区间包含在 (3,4)(3,4) 中。

所以正确答案是 D。

For 0<x<π20\lt x\lt\dfrac{\pi}{2} all three terms are positive, so f(x)>0.f(x)\gt0. For π2<x<π,\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi, set s=sin⁡x>0s=\sin x\gt0 and t=−cos⁡x>0.t=-\cos x\gt0. Since 0<t≤1,0\lt t\le1, f(x)=s−2t−3st=−2t−s(3t−1)<0. \begin{aligned} f(x)&=s-2t-\dfrac{3s}{t} \\ &=-2t-s\left(\dfrac{3}{t}-1\right)\lt0. \end{aligned} Thus no root occurs before x=π.x=\pi.

At x=π,x=\pi, f(π)=0+2(−1)+0=−2<0.f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0. At x=5π4,x=\dfrac{5\pi}{4}, tan⁡x=1\tan x=1 so f=−22+3>0.f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0. By the intermediate value theorem the smallest positive root lies in (π,5π4).\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).

Since π>3\pi\gt3 and 5π4<4,\dfrac{5\pi}{4}\lt4, this interval sits inside (3,4).(3,4).

Thus, the correct answer is D.

第 14 题#14
完整试卷
第 16 题#16

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