Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=5$ 、 $BC=7$ 、 $AC=9$ ，点 $D$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $BD=5$ 。求比 $AD:DC$ 。

In $\triangle ABC,$ $AB=5,$ $BC=7,$ $AC=9$ and $D$ is on $\overline{AC}$ with $BD=5.$ Find the ratio $AD:DC.$

$4:3$

$7:5$

$11:6$

$13:5$

$19:8$

答案：E

知识点：斯特瓦尔特定理比与比例

难度评级：2170

小提示：

令 $AD=m$ ，则 $DC=9-m$

Let $AD=m$ and $DC=9-m$

大提示：

对线段 $BD$ 应用斯图尔特定理

Apply Stewart’s Theorem to cevian $BD$

解答：

令 $AD=m$ 、 $DC=9-m$ 。斯图尔特定理给出 $\begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr) \end{gathered}\text{。}$ 化简得 $9m^2-57m=0$ ，所以 $m=\frac{19}{3}$ 。于是 $DC=\frac{8}{3}$ ，且 $AD:DC=19:8$ 。

所以正确答案是 E。

Let $AD=m$ and $DC=9-m.$ Stewart’s Theorem gives $\begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered}$ Simplifying yields $9m^2-57m=0,$ so $m=\frac{19}{3}.$ Then $DC=\frac{8}{3},$ and $AD:DC=19:8.$

Thus the correct answer is E.

1989 AMC 12 第 15 题

答案：E

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题