Question

对于 $n$ 的一切整数值，表达式 $n^3-n$ 恒能被下列哪个最大的数整除？

The largest number by which the expression $n^3-n$ is divisible for all possible integral values of $n$ is:

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：E

知识点：整除性因式分解

难度评级：1390

小提示：

将 $n^3-n$ 因式分解

Factor $n^3-n$

大提示：

三个因数 $n-1,n,n+1$ 是连续整数

The factors $n-1,n,n+1$ are three consecutive integers

解答：

有 $n^3-n=n(n-1)(n+1)\text{，}$ 这是三个连续整数的乘积。其中一个能被 $3$ 整除，且至少一个是偶数，所以该乘积恒能被 $6$ 整除。取 $n=2$ 时，表达式的值恰为 $6$ ，所以不存在更大的整数能恒整除该表达式。

因此，正确答案是 E。

We have $n^3-n=n(n-1)(n+1),$ a product of three consecutive integers. One is divisible by $3$ and at least one is even, so the product is always divisible by $6.$ Taking $n=2$ gives exactly $6,$ so no larger integer always divides it.

Thus, the correct answer is E.

1951 AMC 12 第 15 题

答案：E

难度评级：1390

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题