Question

若 $a$ 和 $b$ 是整数，且 $x^2-x-1$ 是 $ax^3+bx^2+1$ 的因式，则 $b$ 为

If $a$ and $b$ are integers such that $x^2-x-1$ is a factor of $ax^3+bx^2+1,$ then $b$ is

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

答案：A

知识点：polynomial divisibility modular reduction coefficient comparison

难度评级：1760

小提示：

利用 $x^2\equiv x+1$ 对各次幂降次

Reduce powers using $x^2\equiv x+1$

大提示：

一个次数低于 $2$ 且能被该二次多项式整除的多项式必为零

A polynomial of degree below $2$ divisible by the quadratic must be zero

解答：

模 $x^2-x-1$ ，有 $x^2\equiv x+1$ ，且 $x^3\equiv2x+1$ 。因此，原多项式同余于 $(2a+b)x+(a+b+1)$ 。两个系数都必须为零，所以 $2a+b=0$ ，且 $a+b=-1$ 。因此 $a=1$ 、 $b=-2$ 。

所以正确答案是 A。

Modulo $x^2-x-1,$ we have $x^2\equiv x+1$ and $x^3\equiv2x+1.$ Thus the polynomial is congruent to $(2a+b)x+(a+b+1).$ Both coefficients must vanish, so $2a+b=0$ and $a+b=-1.$ Hence $a=1$ and $b=-2.$

Thus the correct answer is A.

1988 AMC 12 第 15 题

答案：A

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题