Question

五位回文数是形如 $abcba$ 的正整数，其中 $a$ 不为零。设 $S$ 为所有五位回文数之和。 $S$ 的各位数字之和是多少？

A five-digit palindrome is a positive integer with respective digits $abcba,$ where $a$ is not zero. Let $S$ be the sum of all five-digit palindromes. What is the sum of the digits of $S?$

$9$

$18$

$27$

$36$

$45$

答案：B

知识点：回文数位值求和

难度评级：1660

小提示：

回文数 $\overline{abcba}$ 等于 $10001a+1010b+100c$ 。

A palindrome $\overline{abcba}$ equals $10001a+1010b+100c$

大提示：

每个 $a$ 出现在 $10\cdot10$ 个回文数中，每个 $b$ 出现在 $9\cdot10$ 个回文数中，每个 $c$ 也出现在 $9\cdot10$ 个回文数中；再结合数字和 $45$ 。

Each $a$ appears in $10\cdot10$ palindromes, each $b$ in $9\cdot10$ , each $c$ in $9\cdot10$ ; combine with the digit sum $45$

解答：

写 $\overline{abcba}=10001a+1010b+100c$ 。对所有回文数求和时，每个 $a\in\{1,\dots,9\}$ 与 $10\cdot10=100$ 种 $b,c$ 搭配；每个 $b$ 或 $c$ 的值与另外两位有 $9\cdot10=90$ 种搭配。

利用 $\sum a=\sum b=\sum c=45$ ， $\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000 \end{gathered}\text{。}$

$S$ 的各位数字之和为 $4+9+5=18$ 。

所以正确答案是 B。

Write $\overline{abcba}=10001a+1010b+100c.$ Summing over all palindromes, each value of $a\in\{1,\dots,9\}$ occurs with $10\cdot10=100$ choices of $b,c,$ and each value of $b$ or $c$ occurs with $9\cdot10=90$ choices of the other two digits.

Using $\sum a=\sum b=\sum c=45,$ $\begin{gathered} \scriptsize S=45\big(10001\cdot100+1010\cdot90+100\cdot90\big)\\ =45\cdot1{,}100{,}000\\ =49{,}500{,}000. \end{gathered}$

The sum of the digits of $S$ is $4+9+5=18.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A 第 15 题

答案：B

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

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