1984 AMC 12 第 15 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1984 AMC 12 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

若 $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x$ ，则 $x$ 的一个可能值为

If $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ then one value for $x$ is

$18^\circ$

$30^\circ$

$36^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

答案：A

知识点：三角恒等式角度和

难度评级：1800

小提示：

将所有项移到等式一边，并识别余弦的和角公式

Move all terms to one side and recognize a cosine addition identity

大提示：

使用 $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

Use $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

解答：

原方程等价于 $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $5x=90^\circ+180^\circ k$ 。取 $k=0$ ，得到题目所列的值 $x=18^\circ$ 。

所以正确答案是 A。

The equation is equivalent to $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}$ Therefore $5x=90^\circ+180^\circ k.$ Taking $k=0$ gives $x=18^\circ,$ the listed value.

Therefore, the correct answer is A.

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