Question

等比级数 $a+ar+ar^2+\cdots$ 的和为 $7$ ，其中含 $r$ 的奇次幂的项之和为 $3$ 。求 $a+r$ 。

The geometric series $a+ar+ar^2+\cdots$ has a sum of $7,$ and the terms involving odd powers of $r$ have a sum of $3.$ What is $a+r?$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{7}{3}$

$\dfrac{5}{2}$

偶次幂项之和为 $7-3=4$ 。

The even-power terms sum to $7-3=4$

奇次幂级数是偶次幂级数的 $r$ 倍，所以 $3=r\cdot4$ 。

The odd-power series is $r$ times the even-power series, so $3=r\cdot4$

奇次幂项为 $ar+ar^3+\cdots$ $=r(a+ar^2+\cdots)$ ，即偶次幂项之和的 $r$ 倍。偶次幂项之和为 $7-3=4$ 。

因此 $3=4r$ ，得 $r=\tfrac34$ 。又 $a=7(1-r)=\tfrac74$ ， $a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52\text{。}$

所以正确答案是 E。

The odd-power terms are $ar+ar^3+\cdots$ $=r(a+ar^2+\cdots),$ that is, $r$ times the even-power terms. The even-power terms sum to $7-3=4.$

So $3=4r,$ giving $r=\tfrac34.$ Then $a=7(1-r)=\tfrac74,$ and $a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.$

Thus, the correct answer is E.