Question

点 $P$ 在等边 $\triangle ABC$ 内。点 $Q$ 、 $R$ 、 $S$ 分别是从 $P$ 到 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 、 $\overline{CA}$ 的垂足。已知 $PQ=1$ 、 $PR=2$ 、 $PS=3$ ，求 $AB$ 。

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC.$ Points $Q,$ $R,$ and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CA},$ respectively. Given that $PQ=1,$ $PR=2,$ and $PS=3,$ what is $AB?$

$4$

$3\sqrt{3}$

$6$

$4\sqrt{3}$

$9$

答案：D

知识点：面积分割等边三角形三角形面积

难度评级：1680

小提示：

把 $\triangle ABC$ 分成 $\triangle PAB$ 、 $\triangle PBC$ 、 $\triangle PCA$ ，垂线长度作为高。

Split $\triangle ABC$ into $\triangle PAB,$ $\triangle PBC,$ $\triangle PCA,$ using the perpendiculars as heights

大提示：

三个面积和为 $\tfrac12 s(1+2+3)$ ，也等于 $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ 。

Their areas sum to $\tfrac12 s(1+2+3),$ which also equals $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$

解答：

设 $s=AB$ 。连接 $P$ 与各顶点，把三角形分成 $\triangle PAB$ 、 $\triangle PBC$ 、 $\triangle PCA$ ，它们的面积分别为 $\tfrac{s}{2}$ 、 $s$ 、 $\tfrac{3s}{2}$ 。

这些面积总和为 $3s$ ，必须等于等边三角形面积 $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ 。因此 $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2\text{，}$ 得 $s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$ 。

所以正确答案是 D。

Let $s=AB.$ Joining $P$ to the vertices splits the triangle into $\triangle PAB,$ $\triangle PBC,$ and $\triangle PCA,$ with areas $\tfrac{s}{2},$ $s,$ and $\tfrac{3s}{2}.$

Their total is $3s,$ which must equal the area $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ of the equilateral triangle. So $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,$ giving $s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B 第 14 题

答案：D

难度评级：1680

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题