求使下列方程成立的 a 的值： (1)/(\log_2 a) + (1)/(\log_3 a) + (1)/(\log_4 a) = 1？

2015 AMC 12A 第 14 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

2015 AMC 12A 第 14 题

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14.

求使下列方程成立的 $a$ 的值： $\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1\text{？}$

What is the value of $a$ for which $\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1?$

$9$

$12$

$18$

$24$

$36$

答案：D

知识点：对数

难度评级：1730

小提示：

$\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b$ 。

$\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b$

大提示：

这个和变为 $\log_a(2\cdot 3\cdot 4)$

The sum becomes $\log_a(2\cdot 3\cdot 4)$

解答：

根据换底公式， $\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b$ 。因此 $\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24 \end{aligned}\text{。}$

由此可得 $a = 24$ 。

因此，正确答案是 D。

By the change-of-base formula, $\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b.$ Therefore $\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24. \end{aligned}$

It follows that $a = 24.$

Thus, the correct answer is D.

第 13 题#13

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第 15 题#15

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