Question

数 $2^{48}-1$ 能被 $60$ 与 $70$ 之间的两个数整除。这两个数是：

The number $2^{48}-1$ is exactly divisible by two numbers between $60$ and $70.$ These numbers are:

$61$ 、 $63$

$61,$ $63$

$61$ 、 $65$

$61,$ $65$

$63$ 、 $65$

$63,$ $65$

$63$ 、 $67$

$63,$ $67$

$67$ 、 $69$

$67,$ $69$

答案：C

知识点：因式分解指数整除性

难度评级：1990

小提示：

利用性质：若 $n$ 是 $m$ 的倍数，则 $2^m-1$ 整除 $2^n-1$

Use the fact that $2^m-1$ divides $2^n-1$ whenever $n$ is divisible by $m$

大提示：

注意 $63=2^6-1$ ，并且 $2^{12}-1$ 是 $65$ 的倍数

Recognize $63=2^6-1$ and that $2^{12}-1$ is divisible by $65$

解答：

因为 $48$ 是 $6$ 的倍数，所以 $2^{48}-1$ 是 $63=2^6-1$ 的倍数。又有 $2^{12}-1=4095=63\cdot65$ ，且 $48$ 是 $12$ 的倍数，所以 $2^{48}-1$ 是 $65$ 的倍数。因此这两个数是 $63$ 和 $65$ 。

因此，正确答案为 C。

Because $48$ is divisible by $6,$ the number $2^{48}-1$ is divisible by $63=2^6-1.$ Also $2^{12}-1=4095=63\cdot65,$ and $48$ is divisible by $12,$ so $2^{48}-1$ is divisible by $65.$ Thus the two numbers are $63$ and $65.$

Therefore, the correct answer is C.

1971 AMC 12 第 14 题

答案：C

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题