Question

$ABCD$ 是正方形， $M$ 和 $N$ 分别是 $BC$ 和 $CD$ 的中点。则 $\sin\theta=$

$ABCD$ is a square and $M$ and $N$ are the midpoints of $BC$ and $CD,$ respectively. Then $\sin\theta=$

$\frac{\sqrt5}{5}$

$\frac35$

$\frac{\sqrt{10}}5$

$\frac45$

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：vectors sine of angle midpoint geometry

难度评级：1530

小提示：

为正方形建立坐标，并写出向量 $\overrightarrow{AM}$ 和 $\overrightarrow{AN}$

Assign coordinates to the square and write vectors $\overrightarrow{AM}$ and $\overrightarrow{AN}$

大提示：

利用行列式公式求两个向量夹角的正弦

Use the determinant formula for the sine of the angle between two vectors

解答：

设正方形边长为 $2$ ，并取 $A=(0,0),\ M=(1,2)$ 、 $N=(2,1)$ 。则 $\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Take the square to have side $2,$ with $A=(0,0),\ M=(1,2),$ and $N=(2,1).$ Then $\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 第 14 题

答案：B

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题