Question

在长方形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 3$ 。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CD}$ 上，且 $DF = 1$ ， $GC = 2$ 。直线 $AF$ 与 $BG$ 相交于 $E$ 。求 $\triangle AEB$ 的面积。

In rectangle $ABCD,$ $AB = 5$ and $BC = 3.$ Points $F$ and $G$ are on $\overline{CD}$ so that $DF = 1$ and $GC = 2.$ Lines $AF$ and $BG$ intersect at $E.$ Find the area of $\triangle AEB.$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$12$

$\dfrac{25}{2}$

$15$

答案：D

知识点：相似三角形面积

难度评级：1580

小提示：

$FG = 5 - 1 - 2 = 2$ ，且 $\triangle FEG$ 与 $\triangle AEB$ 相似

$FG = 5 - 1 - 2 = 2,$ and $\triangle FEG$ is similar to $\triangle AEB$

大提示：

设 $E$ 到直线 $CD$ 的距离为 $k$ ；到 $AB$ 的距离为 $k + 3$ ，且 $\dfrac{k}{k+3} = \dfrac{2}{5}$

Let the distance from $E$ to line $CD$ be $k;$ the distance to $AB$ is $k + 3,$ with ratio $\dfrac{k}{k+3} = \dfrac{2}{5}$

解答：

因为 $FG = 5 - 1 - 2 = 2$ ，且 $\overline{FG} \parallel \overline{AB}$ ，所以三角形 $FEG$ 与 $AEB$ 相似，相似比为 $\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}$ 。

设 $E$ 到直线 $CD$ 的距离为 $k$ ，则 $E$ 到 $AB$ 的距离为 $k + 3$ ，且 $\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5}\text{，}$ 解得 $k = 2$ 。

$\triangle AEB$ 的高为 $k + 3 = 5$ ，所以面积为 $\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Since $FG = 5 - 1 - 2 = 2$ and $\overline{FG} \parallel \overline{AB},$ triangles $FEG$ and $AEB$ are similar with ratio $\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}.$

Let the distance from $E$ to line $CD$ be $k.$ Then the distance from $E$ to $AB$ is $k + 3,$ and $\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5},$ giving $k = 2.$

The height of $\triangle AEB$ is $k + 3 = 5,$ so its area is $\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B 第 14 题

答案：D

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

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