Question

一个无穷等比级数的和为正数 $S$ ，且该级数第二项为 $1$ 。 $S$ 的最小可能值是多少？

The sum of an infinite geometric series is a positive number $S,$ and the second term in the series is $1.$ What is the smallest possible value of $S?$

$\dfrac{1+\sqrt5}{2}$

$2$

$\sqrt5$

$3$

$4$

答案：E

知识点：等比数列二次方程最优化

难度评级：1730

小提示：

设公比为 $r$ ，第二项为 $1$ ，则第一项为 $\frac{1}{r}$ ，所以 $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}$ 。

With ratio $r$ and second term $1,$ the first term is $\frac{1}{r},$ so $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}$

大提示：

$S$ 最小时， $r-r^2$ 最大；最大化开口向下的抛物线 $r-r^2$ 。

$S$ is smallest when $r-r^2$ is largest; maximize the downward parabola $r-r^2$

解答：

设公比为 $r$ 。因为第二项为 $1$ ，第一项为 $\dfrac1r$ ，所以 $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}$ 。收敛要求 $|r|\lt1$ ，而 $S\gt0$ 又迫使 $0\lt r\lt1$ 。因此，要使 $S$ 最小，就要使 $r-r^2$ 最大。抛物线 $r-r^2$ 在 $r=\tfrac12$ 处达到最大值 $\tfrac14$ ，所以 $S$ 的最小值为 $\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4$ 。

因此，正确答案是 E。

Let $r$ be the common ratio. Since the second term is $1,$ the first term is $\dfrac1r,$ so $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}.$ Convergence requires $|r|\lt1,$ and $S\gt0$ then forces $0\lt r\lt1.$ Therefore $S$ is smallest when $r-r^2$ is largest. The parabola $r-r^2$ peaks at $r=\tfrac12,$ where it equals $\tfrac14,$ so the smallest value of $S$ is $\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12B 第 14 题

答案：E

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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