Question

若 $x$ 是某个正整数的立方，且 $d$ 是 $x$ 的正因数个数，则 $d$ 可能等于

If $x$ is the cube of a positive integer and $d$ is the number of positive integers that are divisors of $x,$ then $d$ could be

$200$

$201$

$202$

$203$

$204$

答案：C

知识点：divisor count 质因数分解 perfect cube

难度评级：1750

小提示：

立方数的质因数分解中，每个指数都能被 $3$ 整除

In the prime factorization of a cube, every exponent is divisible by $3$

大提示：

尝试只含一个质因数的立方数

Try a cube having only one prime factor

解答：

对任意质数 $p$ ，取 $x=p^{201}=(p^{67})^3$ 。这是一个立方数，它的正因数为 $1,p,p^2,\ldots,p^{201}$ ，共有 $202$ 个。因此 $202$ 可以出现。

因此正确答案为 C。

For any prime $p,$ take $x=p^{201}=(p^{67})^3.$ This is a cube, and its positive divisors are $1,p,p^2,\ldots,p^{201},$ a total of $202.$ Thus $202$ can occur.

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 第 14 题

答案：C

难度评级：1750

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题