Question

求下式的值：

$\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}$

其中 $\log$ 表示常用对数。

What is the value of

$\begin{aligned} &(\log 5)^3+(\log 20)^3 \\ &\quad {}+(\log 8)(\log 0.25) \end{aligned}$

where $\log$ denotes the base-ten logarithm?

$\dfrac32$

$\dfrac74$

$2$

$\dfrac94$

$3$

答案：C

知识点：对数立方和与立方差

难度评级：1730

小提示：

令 $u=\log 2$ ；则 $\log 5=1-u$ ， $\log 20=1+u$ 。

Let $u=\log 2;$ then $\log 5=1-u$ and $\log 20=1+u$

大提示：

另有 $\log 8=3u$ 且 $\log 0.25=-2u$ ；使用 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Also $\log 8=3u$ and $\log 0.25=-2u;$ use $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

解答：

令 $u=\log 2$ 。则 $\log 5=1-u$ ， $\log 20=1+u$ ， $\log 8=3u$ ，且 $\log 0.25=-2u$ 。

设 $a=1-u,\ b=1+u$ ，则 $a+b=2$ ， $ab=1-u^2$ ，所以 $\begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2 \end{gathered}\text{。}$

最后一项是 $(3u)(-2u)=-6u^2$ ，因此总和为 $2+6u^2-6u^2=2$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $u=\log 2.$ Then $\log 5=1-u,$ $\log 20=1+u,$ $\log 8=3u,$ and $\log 0.25=-2u.$

With $a=1-u,\ b=1+u,$ we have $a+b=2$ and $ab=1-u^2,$ so $\begin{gathered} a^3+b^3 \\ =(a+b)\big((a+b)^2-3ab\big) \\ =2\big(4-3(1-u^2)\big) \\ =2+6u^2. \end{gathered}$

The last term is $(3u)(-2u)=-6u^2,$ so the total is $2+6u^2-6u^2=2.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12A 第 14 题

答案：C

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题