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2021 AMC 12B Spring 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

设 ABCDABCD 是一个矩形，且线段 DM‾\overline{DM} 垂直于 ABCDABCD 所在平面。假设 DM‾\overline{DM} 的长度是整数，并且 MA‾\overline{MA}，MC‾\overline{MC} 和 MB‾\overline{MB} 的长度按此顺序是连续的正奇数。棱锥 MABCDMABCD 的体积是多少？

Let ABCDABCD be a rectangle and let DM‾\overline{DM} be a segment perpendicular to the plane of ABCD.ABCD. Suppose that DM‾\overline{DM} has integer length, and the lengths of MA‾,\overline{MA}, MC‾,\overline{MC}, and MB‾\overline{MB} are consecutive odd positive integers (in this order). What is the volume of pyramid MABCD?MABCD?

24524\sqrt5

6060

28528\sqrt5

6666

8708\sqrt{70}

答案：A
知识点：立体几何勾股定理棱锥
难度评级：1790
小提示：

把 DD 放在原点，则 MA2=AD2+DM2MA^2=AD^2+DM^2，MC2=CD2+DM2MC^2=CD^2+DM^2，MB2=AD2+CD2+DM2MB^2=AD^2+CD^2+DM^2。

With DD at the origin, MA2=AD2+DM2,MA^2=AD^2+DM^2, MC2=CD2+DM2,MC^2=CD^2+DM^2, MB2=AD2+CD2+DM2MB^2=AD^2+CD^2+DM^2

大提示：

所以 MB2=MA2+MC2−DM2MB^2=MA^2+MC^2-DM^2；令 MA,MC,MB=k,k+2,k+4MA,MC,MB=k,k+2,k+4，解出 kk 和 DMDM。

So MB2=MA2+MC2−DM2;MB^2=MA^2+MC^2-DM^2; with MA,MC,MB=k,k+2,k+4,MA,MC,MB=k,k+2,k+4, solve for kk and DMDM

解答：

把 DD 放在原点，令 AA，CC 沿矩形的两条边，且 MM 正好在 DD 的上方。则 MA2=AD2+DM2MA^2=AD^2+DM^2，MC2=CD2+DM2MC^2=CD^2+DM^2，且 MB2=AD2+CD2+DM2MB^2=AD^2+CD^2+DM^2。

因此 MB2=MA2+MC2−DM2MB^2=MA^2+MC^2-DM^2。写成 MA,MC,MB=k,k+2,k+4MA,MC,MB=k,k+2,k+4，得 DM2=k2+(k+2)2DM^2=k^2+(k+2)^2 −(k+4)2-(k+4)^2 =k2−4k−12=k^2-4k-12。

若 DM=tDM=t 是正整数，则 (k−2)2−t2=16(k-2)^2-t^2=16，所以 (k−2−t)(k−2+t)=16(k-2-t)(k-2+t)=16。能使 t>0t>0 的同奇偶正因数对只有 (2,8)(2,8)，由此得到 k=7k=7 和 t=3t=3。于是 AD2=49−9=40AD^2=49-9=40，且 CD2=81−9=72CD^2=81-9=72。

底面积为 AD⋅CD=40⋅72AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72} =2880=245=\sqrt{2880}=24\sqrt5，体积为 13⋅245⋅3=245\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5。

所以正确答案是 A。

Place DD at the origin with A,A, CC along the rectangle’s edges and MM directly above D.D. Then MA2=AD2+DM2,MA^2=AD^2+DM^2, MC2=CD2+DM2,MC^2=CD^2+DM^2, and MB2=AD2+CD2+DM2.MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.

Thus MB2=MA2+MC2−DM2.MB^2=MA^2+MC^2-DM^2. Writing MA,MC,MB=k,k+2,k+4,MA,MC,MB=k,k+2,k+4, we get DM2=k2+(k+2)2DM^2=k^2+(k+2)^2 −(k+4)2-(k+4)^2 =k2−4k−12.=k^2-4k-12.

If DM=tDM=t is a positive integer, then (k−2)2−t2=16,(k-2)^2-t^2=16, so (k−2−t)(k−2+t)=16.(k-2-t)(k-2+t)=16. The only positive same-parity factor pair giving t>0t>0 is (2,8),(2,8), which yields k=7k=7 and t=3.t=3. Thus AD2=49−9=40AD^2=49-9=40 and CD2=81−9=72.CD^2=81-9=72.

The base area is AD⋅CD=40⋅72AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72} =2880=245,=\sqrt{2880}=24\sqrt5, and the volume is 13⋅245⋅3=245.\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.

Thus, the correct answer is A.

第 13 题#13
完整试卷
第 15 题#15

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