Question

有多少个复数满足方程 $z^5=\overline{z}$ ，其中 $\overline{z}$ 是复数 $z$ 的共轭？

How many complex numbers satisfy the equation $z^5=\overline{z},$ where $\overline{z}$ is the conjugate of the complex number $z?$

$2$

$3$

$5$

$6$

$7$

取模长： $|z|^5=|z|$ ，所以 $|z|=0$ 或 $|z|=1$ 。

Take absolute values: $|z|^5=|z|,$ so $|z|=0$ or $|z|=1$

乘以 $z$ 得 $z^6=z\overline{z}=|z|^2$ ；单独处理 $z=0$ 。

Multiplying by $z$ gives $z^6=z\overline{z}=|z|^2;$ handle $z=0$ separately

取模长得 $|z|^5=|z|$ ，所以 $|z|=0$ 或 $|z|=1$ 。 $z=0$ 满足方程，给出一个解。

若 $|z|=1$ ，把原方程乘以 $z$ 得到 $z^6=z\overline{z}=|z|^2=1$ 。这有 $6$ 个不同的根，并且这些根的模长都等于 $1$ 。

总共有 $1+6=7$ 个解。

所以正确答案是 E。

Taking magnitudes gives $|z|^5=|z|,$ so $|z|=0$ or $|z|=1.$ The value $z=0$ works, giving one solution.

If $|z|=1,$ multiply the equation by $z$ to get $z^6=z\overline{z}=|z|^2=1.$ This has $6$ distinct roots, all of modulus $1.$

Altogether there are $1+6=7$ solutions.

Thus, the correct answer is E.