Question

一个圆的半径为 $\log_{10}(a^2)$ ，周长为 $\log_{10}(b^4)$ 。 $\log_a b$ 等于多少？

A circle has a radius of $\log_{10}(a^2)$ and a circumference of $\log_{10}(b^4).$ What is $\log_a b?$

$\dfrac{1}{4\pi}$

$\dfrac{1}{\pi}$

$\pi$

$2\pi$

$10^{2\pi}$

周长等于半径的 $2\pi$ 倍。

Circumference equals $2\pi$ times the radius

使用 $\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a$ 和 $\log_{10}(b^4) = 4\log_{10} b$ ，再组成 $\dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$ 。

Use $\log_{10}(a^2) = 2\log_{10} a$ and $\log_{10}(b^4) = 4\log_{10} b,$ then form $\dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}$

周长是半径的 $2\pi$ 倍，所以 $\log_{10}(b^4) = 2\pi \log_{10}(a^2)\text{。}$

改写得 $4\log_{10} b = 4\pi \log_{10} a$ ，因此 $\log_{10} b = \pi \log_{10} a$ 。

所以 $\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \pi$ 。

因此，正确答案是 C。

The circumference is $2\pi$ times the radius, so $\log_{10}(b^4) = 2\pi \log_{10}(a^2).$

Rewriting, $4\log_{10} b = 4\pi \log_{10} a,$ hence $\log_{10} b = \pi \log_{10} a.$

Therefore $\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \pi.$

Thus, the correct answer is C.