1965 AMC 12 第 14 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1965 AMC 12 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

$(x^2-2xy+y^2)^7$ 完全展开后所有数值系数之和为：

The sum of the numerical coefficients in the complete expansion of $(x^2-2xy+y^2)^7$ is:

$0$

$7$

$14$

$128$

$128^2$

答案：A

知识点：多项式换元法

难度评级：1470

小提示：

令两个变量都等于 $1$ ，即可得到系数和

Set both variables equal to $1$ to obtain the coefficient sum

大提示：

七次幂括号内的表达式变为 $1-2+1$

The expression inside the seventh power becomes $1-2+1$

解答：

令 $x=y=1$ 后，每个单项式都等于 $1$ ，因此所得值就是数值系数之和。这个值为 $(1-2+1)^7=0\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Setting $x=y=1$ makes every monomial equal $1,$ so the value is the sum of the numerical coefficients. It is $(1-2+1)^7=0.$

Therefore, the correct answer is A.

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