Question

求下面这个表达式的值： $\begin{aligned} &\left(\sum_{k=1}^{20} \log_{5^k} 3^{k^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k=1}^{100} \log_{9^k} 25^k\right) \end{aligned}\text{。}$

What is the value of $\begin{aligned} &\left(\sum_{k=1}^{20} \log_{5^k} 3^{k^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k=1}^{100} \log_{9^k} 25^k\right)? \end{aligned}$

$21$

$100\log_5 3$

$200\log_3 5$

$2{,}200$

$21{,}000$

答案：E

知识点：对数求和

难度评级：1780

小提示：

使用 $\log_{a^k} b^m = \dfrac{m}{k}\log_a b$ 来化简每一项

Use $\log_{a^k} b^m = \dfrac{m}{k}\log_a b$ to simplify each term

大提示：

第一个和是 $\left(\sum k\right)\log_5 3$ ，第二个和是 $100\log_3 5$ ；这两个对数互为倒数

The first sum is $\left(\sum k\right)\log_5 3$ and the second is $100\log_3 5;$ their logs are reciprocals

解答：

对第一个和， $\log_{5^k} 3^{k^2} = \dfrac{k^2}{k}\log_5 3 = k\log_5 3$ ，所以 $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{20} k\log_5 3 = \frac{20\cdot 21}{2}\log_5 3 \\ &= 210\log_5 3 \end{aligned}\text{。}$

对第二个和， $\log_{9^k} 25^k = \log_9 25 = \log_3 5$ 与 $k$ 无关，所以和为 $100\log_3 5$ 。

由于 $\log_5 3 \cdot \log_3 5 = 1$ ，乘积为 $210 \cdot 100 = 21{,}000$ 。

因此，正确答案是 E。

For the first sum, $\log_{5^k} 3^{k^2} = \dfrac{k^2}{k}\log_5 3 = k\log_5 3,$ so $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{20} k\log_5 3 = \frac{20\cdot 21}{2}\log_5 3 \\ &= 210\log_5 3. \end{aligned}$

For the second sum, $\log_{9^k} 25^k = \log_9 25 = \log_3 5,$ independent of $k,$ so the sum is $100\log_3 5.$

Since $\log_5 3 \cdot \log_3 5 = 1,$ the product is $210 \cdot 100 = 21{,}000.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring 第 14 题

答案：E

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

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