Question

在下列复数 $z$ 中，哪一个使 $z^5$ 的实部最大？

Of the following complex numbers $z,$ which one has the property that $z^5$ has the greatest real part?

$-2$

$-\sqrt3 + i$

$-\sqrt2 + \sqrt2\, i$

$-1 + \sqrt3\, i$

$2i$

答案：B

知识点：棣莫弗定理复数

难度评级：1780

小提示：

每个选项的模都是 $2$ ，所以 $z^5$ 的模都是 $32$ ；只有角度有影响

Every choice has modulus $2,$ so $z^5$ has modulus $32;$ only the angle matters

大提示：

若辐角为 $\theta$ 则 $z^5$ 的实部是 $32\cos(5\theta)$ ；找出哪个 $5\theta$ 最接近 $360^\circ$ 的倍数

For angle $\theta,$ the real part of $z^5$ is $32\cos(5\theta);$ find which $5\theta$ is closest to a multiple of $360^\circ$

解答：

每个列出的复数模都是 $2$ ，所以 $z^5$ 的模是 $32$ ，其实部为 $32\cos(5\theta)$ ，其中 $\theta$ 是 $z$ 的辐角。五个辐角分别是 $180^\circ$ ， $150^\circ$ ， $135^\circ$ ， $120^\circ$ ，和 $90^\circ$ 。

乘以 $5$ 后得到 $900^\circ \equiv 180^\circ$ ， $750^\circ \equiv 30^\circ$ ， $675^\circ \equiv 315^\circ$ ， $600^\circ \equiv 240^\circ$ ，和 $450^\circ \equiv 90^\circ$ 。其中最大的余弦是 $\cos 30^\circ$ ，来自 $z = -\sqrt3 + i$ ，实部为 $16\sqrt3$ 。

因此，正确答案是 B。

Each listed number has modulus $2,$ so $z^5$ has modulus $32,$ and its real part is $32\cos(5\theta),$ where $\theta$ is the argument of $z.$ The arguments are $180^\circ,$ $150^\circ,$ $135^\circ,$ $120^\circ,$ and $90^\circ.$

Multiplying by $5$ gives $900^\circ \equiv 180^\circ,$ $750^\circ \equiv 30^\circ,$ $675^\circ \equiv 315^\circ,$ $600^\circ \equiv 240^\circ,$ and $450^\circ \equiv 90^\circ.$ The largest cosine is $\cos 30^\circ,$ from $z = -\sqrt3 + i,$ giving real part $16\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Spring 第 13 题

答案：B

难度评级：1780

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解答：

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