Question

半径为 $r$ 的圆位于半径为 $R$ 的圆所围区域内。大圆所围面积是小圆外、大圆内区域面积的 $\frac{a}{b}$ 倍。则 $R:r$ 等于：

A circle with radius $r$ is contained within the region bounded by a circle with radius $R.$ The area bounded by the larger circle is $\frac{a}{b}$ times the area of the region outside the smaller circle and inside the larger circle. Then $R:r$ equals:

$\sqrt a:\sqrt b$

$\sqrt a:\sqrt{a-b}$

$\sqrt b:\sqrt{a-b}$

$a:\sqrt{a-b}$

$b:\sqrt{a-b}$

答案：B

知识点：圆环面积比比与比例

难度评级：1690

小提示：

写出 $\pi R^2=(\frac{a}{b})\pi(R^2-r^2)$

Write $\pi R^2=(\frac{a}{b})\pi(R^2-r^2)$

大提示：

先求比值 $\frac{R^2}{r^2}$ ，再开平方

Solve for the ratio $\frac{R^2}{r^2}$ before taking square roots

解答：

面积条件为 $\pi R^2=\frac ab\pi(R^2-r^2)\text{。}$ 因此 $bR^2=aR^2-ar^2$ ，所以 $ar^2=(a-b)R^2$ 。从而 $\frac Rr=\sqrt{\frac a{a-b}}\text{，}$ 且 $R:r=\sqrt a:\sqrt{a-b}$ 。

因此，正确答案是 B。

The area condition is $\pi R^2=\frac ab\pi(R^2-r^2).$ Thus $bR^2=aR^2-ar^2,$ so $ar^2=(a-b)R^2.$ Therefore $\frac Rr=\sqrt{\frac a{a-b}},$ and $R:r=\sqrt a:\sqrt{a-b}.$

Therefore, the correct answer is B.

1969 AMC 12 第 13 题

答案：B

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题