Question

Brian 写下四个整数 $w \gt x \gt y \gt z$ ，它们的和是 $44$ 。这些数两两之间的正差为 $1$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ 和 $9$ 。 $w$ 的所有可能值之和是多少？

Brian writes down four integers $w \gt x \gt y \gt z$ whose sum is $44.$ The pairwise positive differences of these numbers are $1,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ and $9.$ What is the sum of the possible values for $w?$

$16$

$31$

$48$

$62$

$93$

答案：B

知识点：方程组分类讨论

难度评级：1610

小提示：

最大差为 $w-z=9$ ，而最小的正差必须是 $x-y=1$ 。

The largest difference is $w-z=9,$ and the smallest positive difference must be $x-y=1$

大提示：

第二大的差 $6$ 可能是 $w-y$ 或 $x-z$ ；分别讨论。

The second largest difference $6$ is either $w-y$ or $x-z$ ; handle each case

解答：

最大差为 $w-z=9$ 。对任意一个中间数 $n$ ，都有 $9=(w-n)+(n-z)$ 。所列差值中，和为 $9$ 的数对只有 $3+6$ 和 $4+5$ ，所以剩下的差必为 $x-y=1$ 。

第二大的差 $6$ 只能是 $w-y$ 或 $x-z$ 。若 $w-y=6$ ，四个数是 $\{w,w-5,w-6,w-9\}$ ，所以 $4w-20=44$ ，得到 $w=16$ 。若 $x-z=6$ ，四个数是 $\{w,w-3,w-4,w-9\}$ ，所以 $4w-16=44$ ，得到 $w=15$ 。

可能的值是 $16$ 和 $15$ ，它们的和为 $31$ 。

因此，正确答案是 B。

The largest difference is $w-z=9.$ For either interior number $n,$ we have $9=(w-n)+(n-z).$ The only pairs among the listed differences that sum to $9$ are $3+6$ and $4+5,$ so the remaining difference must be $x-y=1.$

The second largest difference $6$ is either $w-y$ or $x-z.$ If $w-y=6,$ the numbers are $\{w,w-5,w-6,w-9\},$ so $4w-20=44$ and $w=16.$ If $x-z=6,$ the numbers are $\{w,w-3,w-4,w-9\},$ so $4w-16=44$ and $w=15.$

The possible values are $16$ and $15,$ which sum to $31.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B 第 13 题

答案：B

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题