Question

两条抛物线的方程为 $y = x^2 + ax + b$ 和 $y = x^2 + cx + d$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ，和 $d$ 是整数（不一定互不相同），每个都通过掷一枚公平的六面骰子独立选出。两条抛物线至少有一个公共点的概率是多少？

Two parabolas have equations $y = x^2 + ax + b$ and $y = x^2 + cx + d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are integers (not necessarily different), each chosen independently by rolling a fair six-sided die. What is the probability that the parabolas have at least one point in common?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{25}{36}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{31}{36}$

$1$

答案：D

知识点：基本概率补集计数骰子（概率）

难度评级：1590

小提示：

令两个右边相等， $x^2$ 项会抵消，留下 $ax+b=cx+d$

Setting the two right sides equal, the $x^2$ terms cancel, leaving $ax+b=cx+d$

大提示：

没有公共点恰好发生在 $a=c$ 且 $b\neq d$ 时；求出这个概率再用 $1$ 减去

There is no common point exactly when $a=c$ and $b\neq d;$ find that probability and subtract from $1$

解答：

抛物线相交处满足 $x^2+ax+b=x^2+cx+d$ ，即 $ax+b=cx+d$ 。这个方程无解，恰好发生在两条直线平行且不重合的时候，也就是 $a=c$ 且 $b\neq d$ 。

$a=c$ 的概率是 $\tfrac16$ ，且 $b\neq d$ 的概率是 $\tfrac56$ ，所以没有公共点的概率为 $\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}$ 。

至少有一个公共点的概率为 $1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}$ 。

因此正确答案是 D。

The parabolas meet where $x^2+ax+b=x^2+cx+d,$ i.e. $ax+b=cx+d.$ This has no solution exactly when the lines are parallel and distinct: $a=c$ and $b\neq d.$

The probability that $a=c$ is $\tfrac16,$ and the probability that $b\neq d$ is $\tfrac56,$ so the probability of no common point is $\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}.$

The probability of at least one common point is $1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}.$

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12B 第 13 题

答案：D

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题