Question

定义实数列 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $\ldots$ ，其中 $a_1 = 1$ ，且对所有 $n \ge 1$ 有 $a_{n+1}^3 = 99 a_n^3$ 。则 $a_{100}$ 等于

Define a sequence of real numbers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ by $a_1 = 1$ and $a_{n+1}^3 = 99 a_n^3$ for all $n \ge 1.$ Then $a_{100}$ equals

$33^{33}$

$33^{99}$

$99^{33}$

$99^{99}$

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：等比数列指数

难度评级：1420

小提示：

取立方根可得 $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n$

Take cube roots: $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n$

大提示：

这是公比为 $\sqrt[3]{99}$ 的等比数列，所以 $a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}$

This is geometric with ratio $\sqrt[3]{99},$ so $a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}$

解答：

取立方根得 $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n$ ，因此该数列首项为 $1$ ，公比为 $\sqrt[3]{99}$ 。 $a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Taking cube roots, $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,$ so the sequence is geometric with first term $1$ and ratio $\sqrt[3]{99}.$ Then $a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 第 13 题

答案：C

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题