Question

设点 $A = (0, 0)$ ， $B = (1, 2)$ ， $C = (3, 3)$ ，和 $D = (4, 0)$ 。一条经过 $A$ 的直线把四边形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分。该直线与 $\overline{CD}$ 交于点 $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ ，其中这些分数均为最简形式。 $p + q + r + s$ 是多少？

Let points $A = (0, 0),$ $B = (1, 2),$ $C = (3, 3),$ and $D = (4, 0).$ Quadrilateral $ABCD$ is cut into equal area pieces by a line passing through $A.$ This line intersects $\overline{CD}$ at point $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ where these fractions are in lowest terms. What is $p + q + r + s?$

$54$

$58$

$62$

$70$

$75$

答案：B

知识点：鞋带公式坐标几何三角形面积

难度评级：1740

小提示：

求出 $ABCD$ 的面积；这条分割线与底边 $AD$ 构成一个面积为一半的三角形

Find the area of $ABCD;$ the cutting line makes a triangle on base $AD$ with half that area

大提示：

底边 $AD = 4$ ，该三角形的高就是 $CD$ 上交点的 $y$ 坐标

With base $AD = 4,$ the triangle’s height is the $y$ -coordinate of the point on $CD$

解答：

由鞋带公式， $ABCD$ 的面积为 $\tfrac{15}{2}$ 。设直线与 $\overline{CD}$ 交于 $G$ 。三角形 $ADG$ 的面积必须为 $\tfrac{15}{4}$ 。

因为 $AD = 4$ 在 $x$ 轴上， $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ 给出 $y_G = \tfrac{15}{8}$ 。直线 $CD$ 为 $y = -3(x - 4)$ ，所以 $x_G = \tfrac{27}{8}$ 。

于是 $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58$ 。

因此，正确答案是 B。

By the shoelace formula, the area of $ABCD$ is $\tfrac{15}{2}.$ Let the line meet $\overline{CD}$ at $G.$ Triangle $ADG$ must have area $\tfrac{15}{4}.$

Since $AD = 4$ lies on the $x$ -axis, $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ gives $y_G = \tfrac{15}{8}.$ Line $CD$ is $y = -3(x - 4),$ so $x_G = \tfrac{27}{8}.$

Then $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58.$

Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12A 第 13 题

答案：B

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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