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1988 AMC 12 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

若 sin⁡x=3cos⁡x\sin x=3\cos x，则 sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x 是多少？

If sin⁡x=3cos⁡x,\sin x=3\cos x, then what is sin⁡xcos⁡x?\sin x\cos x?

16\frac16

15\frac15

29\frac29

14\frac14

310\frac3{10}

答案：E
知识点：trigonometric identitiesalgebraic substitution
难度评级：1330
小提示：

将已知关系平方，并利用 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

Square the given relation and use sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

大提示：

已知关系还确定了该乘积的符号

The given relation also determines the sign of the product

解答：

平方得 sin⁡2x=9cos⁡2x\sin^2x=9\cos^2x。因此 10cos⁡2x=110\cos^2x=1。将 sin⁡x=3cos⁡x\sin x=3\cos x 两边乘以 cos⁡x\cos x，得到 sin⁡xcos⁡x=3cos⁡2x=310\sin x\cos x=3\cos^2x=\frac{3}{10}。

所以正确答案是 E。

Squaring gives sin⁡2x=9cos⁡2x.\sin^2x=9\cos^2x. Hence 10cos⁡2x=1.10\cos^2x=1. Multiplying sin⁡x=3cos⁡x\sin x=3\cos x by cos⁡x\cos x gives sin⁡xcos⁡x=3cos⁡2x=310.\sin x\cos x=3\cos^2x=\frac{3}{10}.

Thus the correct answer is E.

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