Question

若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 均为非零数， $c$ 和 $d$ 是方程 $x^2+ax+b=0$ 的根，而 $a$ 和 $b$ 是方程 $x^2+cx+d=0$ 的根，则 $a+b+c+d$ 等于

If $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are nonzero numbers such that $c$ and $d$ are the solutions of $x^2+ax+b=0$ and $a$ and $b$ are the solutions of $x^2+cx+d=0,$ then $a+b+c+d$ equals

$0$

$-2$

$2$

$4$

$\frac{-1+\sqrt5}{2}$

答案：B

知识点：二次方程韦达定理方程组

难度评级：2040

小提示：

对两个二次方程分别应用韦达定理

Apply Vieta’s formulas to both quadratics

大提示：

两个关于根的和的方程可推出 $b=d$ ；再利用关于根的积的方程和非零条件

The two sum equations imply $b=d$ ; then use the product equations and nonzero condition

解答：

由韦达定理， $\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d\text{。} \end{aligned}$ 两个关于根的和的方程推出 $b=d$ 。由于 $b=d\ne0$ ，两个关于根的积的方程给出 $a=c=1$ 。再由 $a+b=-c$ 得 $b=d=-2$ ，因此 $a+b+c+d=-2$ 。

因此，正确答案是 B。

Vieta’s formulas give $\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d. \end{aligned}$ The two sum equations imply $b=d.$ Since $b=d\ne0,$ the product equations give $a=c=1.$ Then $a+b=-c$ gives $b=d=-2,$ and therefore $a+b+c+d=-2.$

Therefore, the correct answer is B.

1978 AMC 12 第 13 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题