Question

不等式 $y-x\lt\sqrt{x^2}$ 成立的充分必要条件是

The inequality $y-x\lt\sqrt{x^2}$ is satisfied if and only if

$y\lt0$ 或 $y\lt2x$ （或两个不等式都成立）

$y\lt0$ or $y\lt2x$ (or both inequalities hold)

$y\gt0$ 或 $y\lt2x$ （或两个不等式都成立）

$y\gt0$ or $y\lt2x$ (or both inequalities hold)

$y^2\lt2xy$

$y\lt0$

$x\gt0$ 且 $y\lt2x$

$x\gt0$ and $y\lt2x$

答案：A

知识点：绝对值不等式分类讨论

难度评级：1650

小提示：

把 $\sqrt{x^2}$ 换成 $|x|$

Replace $\sqrt{x^2}$ by $|x|$

大提示：

分别讨论 $x\ge0$ 与 $x\lt0$ 两种情形，再合并所得区域

Separate the cases $x\ge0$ and $x\lt0$ , then combine the resulting regions

解答：

当 $x\ge0$ 时，不等式化为 $y-x\lt x$ ，即 $y\lt2x$ 。当 $x\lt0$ 时，不等式化为 $y-x\lt-x$ ，即 $y\lt0$ 。合并两种情形，恰好得到 $y\lt0$ 或 $y\lt2x$ ，两者可以同时成立。

因此，正确答案是 A。

If $x\ge0,$ the inequality becomes $y-x\lt x,$ or $y\lt2x.$ If $x\lt0,$ it becomes $y-x\lt-x,$ or $y\lt0.$ Combining the two cases gives exactly $y\lt0$ or $y\lt2x,$ with overlap allowed.

Therefore, the correct answer is A.

1979 AMC 12 第 13 题

答案：A

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题