Question

$18$ 个连续正整数的和是一个完全平方数。这个和的最小可能值是

The sum of $18$ consecutive positive integers is a perfect square. The smallest possible value of this sum is

$169$

$225$

$289$

$361$

$441$

$n$ ， $n+1,\ldots$ ， $n+17$ 的和等于 $9(2n+17)$ 。

The sum of $n,$ $n+1,\ldots,$ $n+17$ equals $9(2n+17)$

因为 $9$ 已经是平方数， $2n+17$ 必须是奇完全平方数；取最小的可行值。

Since $9$ is already a square, $2n+17$ must be an odd perfect square; take the smallest valid one

$n$ 、 $n+1,\ldots$ 、 $n+17$ 的和为 $18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17)$ 。因为 $9$ 已经是平方数，所以 $2n+17$ 也必须是完全平方数。

使 $2n+17$ 成为完全平方数的最小正整数 $n$ 是 $n=4$ ，此时 $2n+17=25$ ，和为 $9\cdot25=225$ 。

所以正确答案是 B。

The sum of $n,$ $n+1,\ldots,$ $n+17$ is $18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17).$ Since $9$ is a perfect square, $2n+17$ must be one too.

The smallest positive integer $n$ making $2n+17$ a perfect square is $n=4,$ giving $2n+17=25$ and a sum of $9\cdot25=225.$

Thus, the correct answer is B.