Question

如下图所示，要把 $6$ 个圆盘中的 $3$ 个涂成蓝色， $2$ 个涂成红色， $1$ 个涂成绿色。如果两种涂色可以通过整个图形的旋转或翻折互相得到，则认为它们相同。共有多少种不同的涂色？

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

答案：D

知识点：分类讨论对称性

难度评级：1660

小提示：

先数带标号的涂色种数，再对三角形的 $6$ 个对称使用 Burnside 引理

Count the labeled colorings first, then apply Burnside’s Lemma to the $6$ symmetries of the triangle

大提示：

非恒等旋转不固定任何涂色；在反射下，个数为奇数的绿色和蓝色圆盘必须占据两个不动的圆盘

A nonidentity rotation fixes none; under a reflection, the odd green and blue counts must use the two fixed disks

解答：

在考虑对称性之前，共有 $\dfrac{6!}{3!2!}=60$ 种涂色。两个非恒等旋转把这些圆盘分成两个 $3$ -循环，所以它们都不能固定颜色数量为 $3,2,1$ 的涂色。

$3$ 个反射中的每一个都固定 $2$ 个圆盘，并把其余 $4$ 个圆盘两两交换成 $2$ 对。要使一种涂色保持不变，唯一的绿色圆盘和 $3$ 个蓝色圆盘之一必须占据这两个不动位置，共有 $2$ 种顺序；两组交换对中任意一组都可以是红色对，因此每个反射固定 $2\cdot2=4$ 种涂色。于是由 Burnside 引理得到 $\dfrac{60+3(4)}{6}=12$ 种不同的涂色。

所以正确答案是 D。

Before accounting for symmetry, there are $\dfrac{6!}{3!2!}=60$ paintings. The two nonidentity rotations partition the disks into two $3$ -cycles, so neither can fix a painting having color counts $3,2,1.$

Each of the $3$ reflections fixes $2$ disks and swaps the other $4$ in $2$ pairs. For a painting to be fixed, the lone green disk and one of the $3$ blue disks must occupy the two fixed positions, in $2$ orders. Of the two swapped pairs, either one can be the red pair, giving $2\cdot2=4$ fixed paintings per reflection. Burnside’s Lemma therefore gives $\dfrac{60+3(4)}{6}=12$ distinct paintings.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12B 第 13 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题