Question

有多少种方法给整数 $2$ ， $3$ ， $\ldots$ ， $9$ 分别涂上红、绿、蓝三种颜色之一，使得每个数的颜色都与它的每个真因数的颜色不同？

How many ways are there to paint each of the integers $2,$ $3,$ $\ldots,$ $9$ either red, green, or blue so that each number has a different color from each of its proper divisors?

$144$

$216$

$256$

$384$

$432$

答案：E

知识点：图论整除性分类讨论

难度评级：1630

小提示：

数 $5$ 和 $7$ 不受限制；处理链 $2, 4, 8$ 以及 $6, 9$ 上的限制

Numbers $5$ and $7$ are unconstrained; handle the chain $2, 4, 8$ and the constraints on $6, 9$

大提示：

$6$ 的颜色必须避开 $2$ 和 $3$ 的颜色，所以计数取决于 $2$ 和 $3$ 是否同色

The color of $6$ must avoid both $2$ and $3,$ so count depends on whether $2$ and $3$ share a color

解答：

质数 $5$ 和 $7$ 在这里没有真因数，因此各有 $3$ 种选择。

沿着链 $2 \to 4 \to 8$ 有 $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ 种涂法。数 $9$ 必须与 $3$ 不同色，所以一旦 $3$ 的颜色确定，它就有 $2$ 种选择。

数 $6$ 必须与 $2$ 和 $3$ 都不同色。对 $2$ 和 $3$ 的颜色求和（同色有 $3$ 对，异色有 $6$ 对）， $4, 8, 9, 6$ 合起来的因子为 $2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48$ 。

再乘上 $5$ 和 $7$ 的涂法数 $9$ ，得到 $48 \cdot 9 = 432$ 。

所以正确答案是 E。

The primes $5$ and $7$ have no proper divisors here, giving $3$ choices each.

Along the chain $2 \to 4 \to 8,$ there are $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ colorings. Number $9$ must differ from $3,$ giving $2$ choices once $3$ is set.

Number $6$ must differ from both $2$ and $3.$ Summing over the colors of $2$ and $3$ (equal in $3$ pairs, unequal in $6$ pairs), the combined factor for $4, 8, 9, 6$ totals $2 \cdot 2 \cdot (3 \cdot 2 + 6 \cdot 1) = 48.$

Multiplying by the $9$ ways for $5$ and $7$ gives $48 \cdot 9 = 432.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A 第 13 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题