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2014 AMC 12B 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

选择实数 aa 和 bb，满足 1<a<b1 \lt a \lt b，并且边长为 11，aa 和 bb 的三角形以及边长为 1b\tfrac1b，1a\tfrac1a 和 11 的三角形都不可能有正面积。bb 的最小可能值是多少？

Real numbers aa and bb are chosen with 1<a<b1 \lt a \lt b such that no triangle with positive area has side lengths 1,1, a,a, and bb or 1b,\tfrac1b, 1a,\tfrac1a, and 1.1. What is the smallest possible value of b?b?

3+32\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}

52\dfrac{5}{2}

3+52\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}

3+62\dfrac{3+\sqrt{6}}{2}

33

答案：C
知识点：三角不等式二次方程极限情形界定
难度评级：1870
小提示：

因为 1<a<b1 \lt a \lt b，不存在边长为 1,a,b1, a, b 的三角形意味着 b≥a+1b \ge a+1。

With 1<a<b,1 \lt a \lt b, no triangle 1,a,b1, a, b means b≥a+1b \ge a+1

大提示：

不存在边长为 1b,1a,1\tfrac1b, \tfrac1a, 1 的三角形意味着 1≥1a+1b1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b，即 a≤bb−1a \le \tfrac{b}{b-1}。

No triangle 1b,1a,1\tfrac1b, \tfrac1a, 1 means 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, i.e. a≤bb−1a \le \tfrac{b}{b-1}

解答：

因为 bb 是 1,a,b1, a, b 中最大的边，不存在这样的三角形当且仅当 b≥a+1b \ge a+1。因为 11 是 1b,1a,1\tfrac1b, \tfrac1a, 1 中最大的边，不存在这样的三角形当且仅当 1≥1a+1b1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b，即 a≤bb−1a \le \tfrac{b}{b-1}。

当 a+1=ba+1 = b 与 a=bb−1a = \tfrac{b}{b-1} 相交时，同时满足两个条件的 bb 最小，得到 b−1=bb−1b - 1 = \tfrac{b}{b-1}，即 b2−3b+1=0b^2 - 3b + 1 = 0。

大于 11 的根为 b=3+52b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}。

所以正确答案是 C。

Since bb is the largest of 1,a,b,1, a, b, no such triangle exists exactly when b≥a+1.b \ge a+1. Since 11 is the largest of 1b,1a,1,\tfrac1b, \tfrac1a, 1, no such triangle exists exactly when 1≥1a+1b,1 \ge \tfrac1a + \tfrac1b, that is a≤bb−1.a \le \tfrac{b}{b-1}.

Both conditions hold with bb smallest when a+1=ba+1 = b and a=bb−1a = \tfrac{b}{b-1} meet, giving b−1=bb−1,b - 1 = \tfrac{b}{b-1}, or b2−3b+1=0.b^2 - 3b + 1 = 0.

The root larger than 11 is b=3+52.b = \dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Thus, the correct answer is C.

第 12 题#12
完整试卷
第 14 题#14

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