Question

在三角形 $ABC$ 中， $AB=AC$ 。若有一点 $P$ 严格位于 $A$ 与 $B$ 之间，使得 $AP=PC=CB$ ，则 $\angle A=$

In triangle $ABC,$ $AB=AC.$ If there is a point $P$ strictly between $A$ and $B$ such that $AP=PC=CB,$ then $\angle A=$

$30^\circ$

$36^\circ$

$48^\circ$

$60^\circ$

$72^\circ$

答案：B

知识点：isosceles triangles 导角

难度评级：1960

小提示：

设 $\angle A=\theta$ ，并使用 $AP=PC$ 来研究 $\triangle APC$

Let $\angle A=\theta$ and use $AP=PC$ in $\triangle APC$

大提示：

利用 $PC=CB$ ，把 $\angle PCB$ 与 $\triangle ABC$ 的一个底角联系起来

Use $PC=CB$ to relate $\angle PCB$ to a base angle of $\triangle ABC$

解答：

设 $\angle A=\theta$ 。由于 $AP=PC$ ，三角形 $APC$ 中有 $\angle PAC=\angle PCA=\theta$ 。由于 $AB=AC$ ， $\triangle ABC$ 的每个底角都是 $\frac{180^\circ-\theta}{2}$ 。又因为 $PC=CB$ ，所以 $\triangle PCB$ 在 $P$ 和 $B$ 处的底角相等；其中 $B$ 处的角为 $\frac{180^\circ-\theta}{2}$ 。因此 $\angle PCB=\theta$ 。在 $C$ 处， $2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2}\text{，}$ 从而 $5\theta=180^\circ$ ，且 $\theta=36^\circ$ 。所以正确答案是 B。

Let $\angle A=\theta.$ Since $AP=PC,$ triangle $APC$ has $\angle PAC=\angle PCA=\theta.$ Since $AB=AC,$ each base angle of $\triangle ABC$ is $\frac{180^\circ-\theta}{2}.$ Also $PC=CB,$ so the base angles of $\triangle PCB$ at $P$ and $B$ are equal; the one at $B$ is $\frac{180^\circ-\theta}{2}.$ Hence $\angle PCB=\theta.$ At $C,$ $2\theta=\frac{180^\circ-\theta}{2},$ giving $5\theta=180^\circ$ and $\theta=36^\circ.$ Thus the correct answer is B.

1994 AMC 12 第 13 题

答案：B

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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