1982 AMC 12 第 13 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1982 AMC 12 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

若 $a\gt1$ 、 $b\gt1$ ，且 $p=\frac{\log_b(\log_ba)}{\log_ba}$ ，则 $a^p$ 等于

If $a\gt1,$ $b\gt1$ and $p=\frac{\log_b(\log_ba)}{\log_ba},$ then $a^p$ equals

$1$

$b$

$\log_ab$

$\log_ba$

$a^{\log_ba}$

答案：D

知识点：对数指数

难度评级：1730

小提示：

令 $t=\log_ba$ ，则 $a=b^t$

Let $t=\log_ba,$ so $a=b^t$

大提示：

将 $p$ 改写为 $\frac{\log_bt}{t}$

Rewrite $p$ as $\frac{\log_bt}{t}$

解答：

令 $t=\log_ba$ ，则 $a=b^t$ ，且 $p=\frac{\log_bt}{t}$ 。于是 $a^p=(b^t)^{\frac{\log_bt}{t}}$ ，即 $b^{\log_bt}=t$ 。因此 $a^p=\log_ba$ 。

因此，正确答案为 D。

Set $t=\log_ba,$ so $a=b^t$ and $p=\frac{\log_bt}{t}.$ Then $a^p=(b^t)^{\frac{\log_bt}{t}},$ which equals $b^{\log_bt}=t.$ Therefore $a^p=\log_ba.$

Therefore, the correct answer is D.

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