Question

对所有正数 $a$ 和 $b$ ，定义二元运算 $*$ 为 $a*b=a^b$ 。则对任意正数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $n$ ，恒有：

Given the binary operation $*$ defined by $a*b=a^b$ for all positive numbers $a$ and $b.$ Then for all positive $a,$ $b,$ $c,$ $n,$ we have:

$a*b=b*a$

$a*(b*c)=(a*b)*c$

$a*(b^n)=(a*n)*b$

$(a*b)^n=a*(bn)$

以上都不对

None of these

答案：D

知识点：自定义运算指数代数变形

难度评级：1710

小提示：

先根据定义替换每个 $*$ ，再比较等式两边

Replace every $*$ using the definition before comparing the two sides

大提示：

对于选项 D，两边都化简成指数为 $bn$ 的幂

For choice D, both sides simplify to a power with exponent $bn$

解答：

对于选项 D， $\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn} \end{aligned}\text{。}$ 因此这个恒等式总是成立。其他选项会断言诸如 $a^b=b^a$ 或 $a^{b^c}=a^{bc}$ 之类并非恒成立的等式。

因此，正确答案是 D。

For choice D, $\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn}. \end{aligned}$ Thus that identity always holds. The other choices would assert false general identities such as $a^b=b^a$ or $a^{b^c}=a^{bc}.$

Therefore, the correct answer is D.

1970 AMC 12 第 13 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题