Question

若 $2^a+2^b=3^c+3^d$ ，则整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 中最多有几个可以是负数？

If $2^a+2^b=3^c+3^d,$ the number of integers $a,$ $b,$ $c,$ $d$ which can possibly be negative is, at most:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

答案：E

知识点：指数整除性奇偶性

难度评级：2160

小提示：

约分后，左边的分母只能含因数 $2$ ，右边的分母只能含因数 $3$

A reduced denominator on the left can contain only $2,$ while one on the right can contain only $3$

大提示：

先推出两边都是整数，再考察两个负指数幂之和何时可能是整数

Conclude both sides must be integers, then examine when a sum of two negative powers can be integral

解答：

化为最简分数后，左边的分母只能是 $2$ 的幂，右边的分母只能是 $3$ 的幂。两边相等就迫使两边都是整数。若 $c$ 或 $d$ 为负数， $3^c+3^d$ 的分母中仍会含因数 $3$ 。因此 $c,d\geq0$ 。

同理， $a$ 或 $b$ 为负数时，和为整数的唯一特殊情形是 $a=b=-1$ ，此时和为 $1$ 。但 $3^c+3^d\geq2$ 。所以也有 $a,b\geq0$ ，没有一个可以是负数。

所以正确答案是 E。

In lowest terms, the left side can have only a power of $2$ in its denominator, while the right side can have only a power of $3.$ Equality therefore forces both sides to be integers. If either $c$ or $d$ were negative, $3^c+3^d$ would retain a factor $3$ in its denominator. Thus $c,d\geq0.$

Likewise, negative $a$ or $b$ can give an integer only in the exceptional case $a=b=-1,$ whose sum is $1.$ But $3^c+3^d\geq2.$ Hence $a,b\geq0$ as well, so none can be negative.

Thus, the correct answer is E.

1963 AMC 12 第 13 题

答案：E

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题