Question

假设在每年年末，一个货币单位相较该年年初会损失其价值的 $10\%$ 。求最小的整数 $n$ ，使得经过 $n$ 年后，这个货币单位至少损失其价值的 $90\%$ 。（四舍五入到小数点后三位， $\log_{10}3$ 为 $0.477$ 。）

Suppose that at the end of any year, a unit of money has lost $10\%$ of the value it had at the beginning of that year. Find the smallest integer $n$ such that after $n$ years the unit of money will have lost at least $90\%$ of its value. (To the nearest thousandth $\log_{10}3$ is $0.477.$ )

$14$

$16$

$18$

$20$

$22$

答案：E

知识点：指数对数不等式

难度评级：1660

小提示：

经过 $n$ 年后，剩余价值所占的比例为 $0.9^n$

After $n$ years, the fraction of value remaining is $0.9^n$

大提示：

利用 $\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1$

Use $\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1$

解答：

至少损失 $90\%$ 意味着 $0.9^n\le0.1$ 。现在 $\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $n(-0.046)\le-1$ ，所以 $n\ge21.739\ldots$ 。最小的整数是 $22$ 。

所以正确答案是 E。

At least $90\%$ lost means $0.9^n\le0.1.$ Now $\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046. \end{aligned}$ Thus $n(-0.046)\le-1,$ so $n\ge21.739\ldots.$ The least integer is $22.$

Therefore, the correct answer is E.

1981 AMC 12 第 13 题

答案：E

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题