1952 AMC 12 第 13 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1952 AMC 12 第 13 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

13.

函数 $x^2+px+q$ 中， $p$ 与 $q$ 均大于零。该函数在下列哪一条件下取得最小值？

The function $x^2+px+q$ with $p$ and $q$ greater than zero has its minimum value when:

$x=-p$

$x=\dfrac p2$

$x=-2p$

$x=\dfrac{p^2}{4q}$

$x=-\dfrac p2$

答案：E

知识点：二次方程配方法

难度评级：1470

小提示：

对 $x^2+px$ 配方

Complete the square in the terms $x^2+px$

大提示：

当 $x+\frac{p}{2}=0$ 时，平方项最小

The squared term is minimized when $x+\frac{p}{2}=0$

解答：

配方得到 $\begin{aligned} x^2+px+q &=\left(x+\frac p2\right)^2\\ &\quad{}+q-\frac{p^2}{4} \end{aligned}\text{。}$ 当 $x=-\frac{p}{2}$ 时，平方项最小。

因此，正确答案是 E。

Completing the square gives $\begin{aligned} x^2+px+q &=\left(x+\frac p2\right)^2\\ &\quad{}+q-\frac{p^2}{4}. \end{aligned}$ The square is least when $x=-\frac{p}{2}.$

Thus, the correct answer is E.

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