Question

一个无穷等比数列的和为 $6$ 。前两项之和为 $4\dfrac12$ 。该数列的首项为：

The sum to infinity of the terms of an infinite geometric progression is $6.$ The sum of the first two terms is $4\dfrac12.$ The first term of the progression is:

$3$ 或 $1\dfrac12$

$3$ or $1\dfrac12$

$1$

$2\dfrac12$

$6$

$9$ 或 $3$

$9$ or $3$

答案：E

知识点：等比数列二次方程

难度评级：1770

小提示：

设首项为 $a$ ，公比为 $r$

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$

大提示：

将 $a=6(1-r)$ 代入方程 $a(1+r)=\frac{9}{2}$

Use $a=6(1-r)$ in the equation $a(1+r)=\frac{9}{2}$

解答：

设首项为 $a$ ，公比为 $r$ 。由无穷和可得 $a=6(1-r)$ 。因此，前两项满足 $a(1+r)=6(1-r^2)=\frac92\text{。}$ 所以 $r^2=\frac{1}{4}$ ：当 $r=\frac{1}{2}$ 时 $a=3$ ，当 $r=-\frac{1}{2}$ 时 $a=9$ 。

因此，正确答案是 E。

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r.$ The infinite sum gives $a=6(1-r).$ The first two terms therefore satisfy $a(1+r)=6(1-r^2)=\frac92.$ Thus $r^2=\frac{1}{4},$ so $r=\frac{1}{2}$ gives $a=3,$ while $r=-\frac{1}{2}$ gives $a=9.$

Thus, the correct answer is E.

1952 AMC 12 第 12 题

答案：E

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题