Question

设 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 为互不相同的素数，其中 $1$ 不视为素数。以下哪一个是以 $n=pq^2r^4$ 为因数的最小正完全立方数？

Let $p,$ $q$ and $r$ be distinct prime numbers, where $1$ is not considered a prime. Which of the following is the smallest positive perfect cube having $n=pq^2r^4$ as a divisor?

$p^8q^8r^8$

$(pq^2r^2)^3$

$(p^2q^2r^2)^3$

$(pqr^2)^3$

$4p^3q^3r^3$

答案：D

知识点：整除性完全幂质因数分解

难度评级：1660

小提示：

完全立方数中每个素因子的指数都是 $3$ 的倍数

Every prime exponent in a perfect cube is a multiple of $3$

大提示：

将指数 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 分别增大到不小于它们的最小 $3$ 的倍数

Raise the exponents $1,$ $2,$ and $4$ to the least larger multiples of $3$

解答：

完全立方数的素因子指数都能被 $3$ 整除。不小于 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 的最小 $3$ 的倍数依次为 $3$ 、 $3$ 、 $6$ 。因此最小的完全立方数为 $p^3q^3r^6=(pqr^2)^3\text{。}$ 所以正确答案是 D。

A perfect cube has prime exponents divisible by $3.$ The least multiples of $3$ that are at least $1,$ $2,$ and $4$ are $3,$ $3,$ and $6,$ respectively. Thus the smallest possible cube is $p^3q^3r^6=(pqr^2)^3.$ Therefore the correct answer is D.

1985 AMC 12 第 12 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题